Kelas XII · Fase F

Dari perubahan menuju turunan.

Eksperimen interaktif untuk melihat bagaimana gradien garis sekan mendekati gradien garis singgung ketika titik kedua mendekati titik pertama.

Perjalanan belajar

Gunakan urutan ini agar media tidak hanya menjadi kalkulator.

1 · Perubahan rata-rata

Bandingkan dua posisi.

2 · Limit

Kecilkan interval secara bertahap.

3 · Turunan

Hubungkan sekan, tangen, dan gradien.

4 · Aturan

Gunakan sifat turunan pada fungsi.

Empat representasi

Satu ide matematika dilihat dari konteks, data, grafik, dan simbol.

01

Kontekstual

“Seberapa cepat besaran berubah tepat pada saat tertentu?”

02

Numerik

Tabel nilai gradien saat h → 0.

03

Grafik & simbolik

Sekans mendekati tangen dan membentuk definisi turunan.

Cara menggunakan media

Ikuti urutan ini. Jangan langsung mencari rumus.

1

AmatiPilih fungsi dan titik P.

2

Ubah hBandingkan gradien garis sekan.

3

Dekati PLihat apa yang terjadi saat h → 0.

4

SimpulkanHubungkan sekan, tangen, dan turunan.

Membangun konsep turunan

Jangan mulai dari rumus. Mulai dari pertanyaan: bagaimana mengukur perubahan tepat pada satu titik?

Discovery

01

Perubahan rata-rata

Untuk dua titik pada kurva, kita memperoleh gradien garis sekan.

m = [f(a+h) − f(a)] / h

Ini menggambarkan perubahan selama sebuah interval. Tetapi bagaimana jika kita ingin mengetahui perubahan tepat di a?

02

Perubahan sesaat

Bayangkan titik kedua terus mendekati titik pertama.

Q → P ⟹ h → 0

Gradien garis sekan mulai mendekati nilai yang menggambarkan kemiringan kurva tepat di titik P.

03

Formalisasi

Setelah pola terlihat secara grafik dan numerik, gagasan tersebut ditulis sebagai:

f′(a) = lim_h→0 [f(a+h) − f(a)] / h

Turunan di suatu titik adalah limit gradien garis sekan saat titik kedua mendekati titik pertama.

04

Makna geometris

f′(a) = m_{garis singgung}

Jadi satu nilai turunan memiliki dua pembacaan yang setara: sebagai laju perubahan sesaat dan sebagai gradien garis singgung.

Sekans

Perubahan rata-rata antara dua titik.

Tangen

Perubahan sesaat pada satu titik.

Notasi yang setara

Untuk konteks yang berbeda, ide yang sama dapat ditulis dengan beberapa notasi.

Perhatikan perbedaannya

Jangan menyamakan gradien garis sekan dengan turunan hanya karena intervalnya kecil. Turunan diperoleh melalui proses limit.

Coba buktikan sendiri melalui Laboratorium Grafik.

Mini-check

Pilih pernyataan yang paling tepat.

Laboratorium Grafik

Gunakan grafik sebagai laboratorium: amati, ubah parameter, buat prediksi, lalu verifikasi.

Engine aktifMode terbimbing

f(x) f′(x) sekan tangen Δx/Δy Skala sumbu 1:1

Memuat GeoGebra… Grafik interaktif sedang disiapkan.

x titik P1.00

h = Δx1.00

f(x)—

Δy—

m sekan—

f′(x)—

|m sek − f′|—

m_sekan = Δy / Δx

Posisi titik P1.00

Jarak h ≠ 01.00

X minimum X maximum Y minimum Y maximum

Skala satuan x:y = 1:1. Geser grafik untuk memindahkan koordinat, atau buka Tampilan untuk mengatur rentang.

f(x)f′(x)sekantangenΔx/Δy

Misi eksperimen

Selesaikan secara berurutan. Setiap langkah memakai grafik, bukan sekadar membaca hasil.

1. AmatiPerhatikan P, Q, dan gradien garis sekan.

2. DekatiPerkecil |h| dan lihat perubahan m sekan.

3. PrediksiPerkirakan gradien garis singgung di P.

4. SimpulkanBandingkan sekan, tangen, dan limit dua sisi.

Perhatikan. Perubahan rata-rata dihitung untuk dua titik berbeda. Turunan di P muncul sebagai limit gradien sekan ketika Q mendekati P.

Prediksi sebelum verifikasi

Masukkan perkiraan gradien garis singgung di P. Kamu tidak perlu tepat sampai banyak desimal. Nilai turunan pada kartu dapat digunakan untuk verifikasi setelah kamu membuat prediksi.

f′(x) = belum dibuka

Tabel pendekatan dari dua sisi

Gunakan data ini untuk melihat apakah gradien sekan mendekati nilai yang sama dari kiri dan kanan.

h	Arah	m sekan	\|m(h) − m(h/2)\|

Limit kiri

—

Limit kanan

—

Sama dari dua sisi?

—

Status titik

—

Apa yang sedang kamu cari?

Gradien sekan

Nilai m sekan = Δy/Δx menyatakan perubahan rata-rata pada interval.

Perubahan sesaat

Saat Q mendekati P, interval makin kecil dan gradien sekan dapat mendekati satu nilai.

Turunan di titik

Nilai yang dicari adalah limit gradien sekan, bukan gradien untuk h=0.

Uji dua sisi

Untuk fungsi seperti |x| di 0, pendekatan kiri dan kanan menunjukkan mengapa turunan dapat tidak ada.

Kesimpulan eksplorasi

—Perubahan rata-rata

—Perubahan sesaat

—Makna geometris

Persamaan garis singgung akan tersedia setelah prediksi diperiksa.

Coba fungsi sendiri

Gunakan fungsi buatanmu untuk menguji konsep pada grafik. Fitur ini hanya menerima bentuk yang benar-benar didukung engine.

Parser internal

Masukkan f(x)

Fungsi

Didukung: +, −, ×, ÷, pangkat, sin, cos, tan, e, ln, sqrt, abs. Gunakan * untuk perkalian jika perlu.

Ekspresi terbaca

—

Turunan simbolik

—

Status pada titik a

—

Uji di titik tertentu

f′(x) = —

Titik a

Tujuan fitur ini adalah membuat dan menguji konjektur, bukan menggantikan langkah penyelesaian dengan kalkulator.

Contoh fungsi yang aman dicoba

Sifat dan aturan turunan

Gunakan aturan setelah konsep turunan dipahami melalui laboratorium.

Konstanta

(c)′ = 0

Contoh: (7)′ = 0

Aturan pangkat

(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹

Contoh: (x⁵)′ = 5x⁴

Konstanta kali fungsi

(cf)′ = cf′

Contoh: (3x²)′ = 6x

Jumlah/selisih

(f ± g)′ = f′ ± g′

Turunkan setiap suku.

Sinus

(sin x)′ = cos x

Contoh: (2sin x)′ = 2cos x

Kosinus

(cos x)′ = −sin x

Perhatikan tanda negatif.

Eksponensial

(eˣ)′ = eˣ

Fungsi tetap sama.

Fungsi aˣ

(aˣ)′ = aˣ ln a

Untuk a > 0, a ≠ 1.

Contoh gabungan

Pisahkan suku, lalu terapkan aturan yang sesuai.

f(x)=3x²−4x+7

f′(x)=6x−4

Di laboratorium kamu dapat memeriksa hasil ini secara geometris.